Question

4．已知曲線C₁：y²=tx（y＞0，t＞0）在點M（$\frac{4}{t}$，2）處的切線與曲線C₂：y=e^x+1-1也相切，則tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$的值為（　　）

• A． 4e²
• B． 8e
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 利用曲線C₁：y²=tx（y＞0，t＞0）在點M（$\frac{4}{t}$，2）處的切線與曲線C₂：y=e^x+1-1也相切，求出t的值，則tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$的值可求．

解答 解：曲線C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），y′=$\frac{1}{2\sqrt{tx}}$•t，
x=$\frac{4}{t}$，y′=$\frac{t}{4}$，∴切線方程為y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$）
設切點為（m，n），則曲線C₂：y=e^x+1-1，y′=e^x+1，e^m+1=$\frac{t}{4}$，∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=$\frac{t}{4}$-1，
代入$\frac{t}{4}$-1-2=$\frac{t}{4}$（ln$\frac{t}{4}$-1-$\frac{4}{t}$），解得t=4，
∴tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$=4lne²=8．
故選D．

點評 本題考查導數的幾何意義的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．