Question

如圖所示,正方體AC的棱長為1,該正方體內有兩球相外切,并且又分別與正方體內切.

(1)求兩球半徑之和;

(2)球的半徑是多少時,兩球體積之和最小?

Answer 1

解析:(1)四邊形ABCD為過球心的截面,易知它是球心的對角面,如圖所示.

AC=,設兩球半徑分別為R、r,

則R+r+ (R+r)= ,∴R+r=.

(2)設兩球體積之和為V,則

V=π(R³+r³)=π(R+r)(R²-Rr+r²)=π(R+r)［(R+r)²-3Rr］

=π［3R²-］.

∴當R=時,V有最小值.