Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是異面直線，AC和A₁D的公垂線，則EF和BD₁的關系是（　　）

A．相交但不垂直

B．垂直

C．異面

D．平行

Answer 1

分析：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，設正方形的邊長為1，利用向量法，我們易求出BD₁與A₁D和AC都垂直，根據共垂線的性質，可以得到兩條線段平行．

解答：解：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，且設正方形的邊長為1
所以就有D₁（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以

A1D

=（-1，0，1），

AC

=（-1，1，0），

BD1

=（-1，-1，1）
所以

A1D

•

BD1

=-1+1=0 所以A₁D⊥BD₁，

AC

•

BD1

=1-1=0 所以AC⊥BD₁，
所以BD₁與A₁D和AC都垂直
又∵EF是AC、A₁D的公垂線，
∴BD₁∥EF
故選D

點評：本題考查空間中直線與直線之間的位置關系，其中建立空間坐標系，借助向量分析直線與直線之間的位置關系是解答本題的關鍵，這樣降低了題目的難度，把純理論的東西用數字的運算來解決．