Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是正方體ADD₁A₁和ABCD的中心，G是C₁C的中點，設(shè)GF、C₁F與AB所成的角分別為α、β，則α+β等于

π

2

．

Answer 1

分析：本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線的GF、C₁E與AB的方向向量，利用夾角公式求線線角的余弦值即可．

解答：解：以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，
則B（0，2，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），C₁（0，0，2），E（2，1，1），
則

BA

=(2，0，0)，

GF

=（1，1，-1），

C1E

=（2，1，-1），
∴cos(

BA

，

GF

)=

1

3

，cos(

BA

，

C1E

)=

2

3

∴cosα=

1

3

．cosβ=

6

3

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

6

3

×

6

3

+

3

3

×

3

3

=1，又0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

2

．
故答案是

π

2

．

點評：本題考查用空間向量為工具解決空間幾何問題，本題的關(guān)鍵是求出異面直線所成的角的余弦值后，利用兩角和的正弦求解．