Question

已知an=(

1

3

)n，把數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如右圖所示三角形形狀，記A（m，n）表示第m行、第n列的項(xiàng)，則A（10，8）=

(

1

3

)89

，a₁₂₀在圖中的位置為

A（11，20）

．

Answer 1

分析：根據(jù)觀察三角形的形狀，發(fā)現(xiàn)第一行1項(xiàng)，第二行3項(xiàng)，第三行5項(xiàng)…可以推斷每行的項(xiàng)數(shù)滿足等差數(shù)列b_n=2n+1，算出前9行的總項(xiàng)數(shù)加8就可以知道A（10，8）=a₈₉的值，設(shè)出a₁₂₀在圖中的位置為A（m，n），列出方程求出m，n的值，得到a₁₂₀位置．

解答：解：由題意知：
   觀察三角形發(fā)現(xiàn)第一行共1項(xiàng)，第二行共3項(xiàng)，第三行共5項(xiàng)，…可以猜測第n行共2n-1項(xiàng)，因?yàn)锳（10，8）是第十行第八列，故前九行的項(xiàng)數(shù)總和是S9=

9(1+17)

2

=81，
  再加上第十行的8項(xiàng)就是A（10，8）=a₈₉=(

1

3

)89
  設(shè)a₁₂₀在圖中的位置為A（m，n），
則120=

(m-1)(1+2m-3)

2

+n
即120=（m-1）²+n（m，n∈N），
當(dāng)所以m=11，n=20
故答案為(

1

3

)89，A（11，20）

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生對數(shù)列的觀察能力，應(yīng)用能力，及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬中檔題型．