Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a＞0)的圖象有公共點，且在該點處的切線相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）

Answer 1

分析：（I）設出函數的公共點，對兩個函數求導，根據兩個函數在這個點上的切線相同，得到兩個關系式，整理變化出b的函數式，求出最大值．
（II）構造新函數，對兩個函數做差，構造新函數，對新函數求導，得到函數在正數范圍上的單調性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．

解答：解：（I）設函數f（x）與函數g（x）的圖象有公共點（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由題意：

1 2 x 0 2 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得
設h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考慮到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

∴h(a)在(0，e

1

3

]上單調遞增，在[e

1

3

，+∞)上單調遞減，
故a=e

1

3

時，h(a)即b取得最大值

3

2

e

2

3

．
（II）設F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)
F′(x)=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)
∴F（x）在（0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x₀）-g（x₀）=0，
即f（x）≥g（x）

點評：本題考查導數在求最值的應用，本題解題的關鍵是構造新函數，根據新函數的性質，得到要求的結論，注意本題的運算不要出錯．