Question

已知函數f（x）=

sinπx

πx+π1-x

（x∈R）．下列命題：
①函數f（x）既有最大值又有最小值；
②函數f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數f（x）在區間[-π，π]上共有7個零點；
④函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增．
其中真命題是

 

．（填寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：考慮①時用基本不等式進行放縮；考慮②時，驗證f（1-x）=f（x）；考慮③時，sinπx=0，故x=k，k為整數，可得零點的個數；
考慮④時，驗證f（0）=f（1）=0，故無單調性；

解答： 解：考慮①：
函數f（x）=

sinπx

πx+π1-x

≤

1

2 πx•π1-x

=

1

2 π

，當且僅當x=

1

2

時取等號，故函數由最大值；
取x=-

1

2

，有f（-

1

2

）=

-1

π- 1 2 +π 3 2

＜

-1

1+4 3 2

＜-

1

9

，
當x＞10時，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
當x＜-9時，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
而f（x）在[-9，10]上存在最小值，設此最小值為m，則m≤f（-

1

2

），
所以，m亦為f（x）在定義域上的最小值．
故①正確；
考慮②：
因為f（1-x）=f（x），所以x=

1

2

為f（x）的對稱軸，故②正確；
考慮③：
因為f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k為整數，
∴區間[-π，π]上有-3，-2，-1，0，1，2，3共7個零點，故③正確；
考慮④：
f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能單調遞增；故④錯誤；
綜上①②③正確，
故答案為：①②③

點評：本題主要考查函數的有關性質，要分析函數的表達式，進行合理的變形，同時要驗證特殊值．