Question

【題目】已知二次函數f（x）＝x2+bx+c有兩個零點1和﹣1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）設g（x），試判斷函數g（x）在區間（﹣1，1）上的單調性并用定義證明；

（3）由（2）函數g（x）在區間（﹣1，1）上，若實數t滿足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2﹣1；（2）見解析；（3）（0，）.

【解析】

（1）由題意可得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的兩根，運用韋達定理可得b，c，進而得到函數f（x）的解析式；

（2）函數g（x）在區間（﹣1，1）上是減函數．運用單調性的定義，注意取值、作差和變形、定符號以及下結論等；

（3）由題意結合（2）的單調性可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解不等式即可得到所求范圍．

（1）由題意得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的兩根，

所以﹣1+1＝﹣b，﹣1×1＝c，

解得b＝0，c＝﹣1，

所以f（x）＝x2﹣1；

（2）函數g（x）在區間（﹣1，1）上是減函數．

證明如下：設﹣1＜x1＜x2＜1，則g（x1）﹣g（x2），

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，

可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

則函數g（x）在區間（﹣1，1）上是減函數；

（3）函數g（x）在區間（﹣1，1）上，

若實數t滿足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，

即有g（t﹣1）＞g（﹣t），

又由（2）函數g（x）在區間（﹣1，1）上是遞減函數，

可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，

解得0＜t．則實數t的取值范圍為（0，）．