Question

求過點A(3，－1)且被A平分的雙曲線x²－4y²＝4的弦MN所在直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設過A(3，－1)的直線方程為y＝k(x－3)－1， 　　代入雙曲線方程得x2－4[k(x－3)－1]2＝4， 　　整理得 　　(4k2－1)x2－8k(3k＋1)x＋36k2＋24k＋8＝0． 　　若直線交雙曲線于M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　則Δ≥0　　① 　　由韋達定理，得x1＋x2＝． 　　∵A平分MN，∴＝3， 　　解得k＝． 　　代入①驗證，滿足Δ≥0， 　　所以M，N存在． 　　故該直線為y＝(x－3)－1， 　　即3x＋4y－5＝0． 　　解法二：設弦MN兩端點坐標為(x1，y1)(x2，y2) 　　則 　　由①－②化簡得， 　　由③④可知＝． 　　故MN：3x＋4y－5＝0． 　　與雙曲線方程x2－4y2＝4聯立，消y得5x2－30x＋41＝0． 　　∵Δ＝302－820＞0，∴M，N兩點存在， 　　∴所求弦所在的直線方程為3x＋4y－5＝0． 　　解法三：設定MN的一個端點坐標為(x，y)， 　　則弦的另一個端點的坐標為(6－x，－2－y)． 　　若MN存在，則該兩點在雙曲線上， 　　x2－4y2＝4　　① 　　∵Δ＞0， 　　∴該直線與雙曲線相交于兩點， 　　∴所求的直線即為3x＋4y－5＝0． 　　且(6－x)2－4(－2－y)2＝4　　② 　　①－②整理，得3x＋4y－5＝0．