Question

已知O是坐標原點，A，B是直線l：x-y+t=0與圓C：x²+y²=4的兩個不同交點，若|

AB

|≤|

OA

+

OB

|，則實數t的取值范圍是（　�。�

• A、（-2

  2

  ，-2]
• B、[2，2

  2

  ）
• C、（-2

  2

  ，-2]∪[2，2

  2

  ）
• D、[-2

  2

  ，-2]∪[2，2

  2

  ]

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：將已知向量式兩邊平方，得到∠AOB≤90°，再直線和圓相切，及直線和圓相交所得圓心角為直角的情況，再結合條件即可得到所求范圍．

解答： 解：由于

AB

=

OB

-

OA

，
則|

OB

-

OA

|≤|

OA

+

OB

|，
兩邊同時平方整理得

OA

•

OB

≥0，
則∠AOB≤90°，又直線l：x-y+t=0的斜率為1，
經過（-2，0），（0，2）或（0，-2），（2，0）時恰好滿足∠AOB=90°，
此時t=2或-2；
當l：x-y+t=0與圓相切時是一種臨界狀態，此時d=

|t|

2

=2，
解得，t=2

2

或t=-2

2

，
由于直線l：x-y+t=0與圓C：x²+y²=4的兩個不同交點，
則t∈（-2

2

，-2]∪[2，2

2

）．
故選C．

點評：本題考查平面向量的數量積的性質，考查直線和圓的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．