Question

如圖所示，已知在多面體ABCDEF中，底面是正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AC且AC=2EF，AB=2AE=2
（1）求證：平面BDF⊥平面ABCD
（2）求平面BCF與平面ADE所成的角．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設AC與BD交于O，連接OF，證明四邊形AEFO是平行四邊形，可得AE∥OF，由EA⊥平面ABCD，可得OF⊥平面ABCD，利用平面與平面垂直的判定定理，即可證明平面BDF⊥平面ABCD；
（2）建立坐標系，則

n

=（1，0，0）是平面ADE的法向量，求出平面BCF的法向量，利用向量的夾角公式求平面BCF與平面ADE所成的角．

解答： （1）證明：設AC與BD交于O，連接OF，則
∵EF∥AC且AC=2EF，
∴EF∥AO且AO=EF，
∴四邊形AEFO是平行四邊形，
∴AE∥OF，
∵EA⊥平面ABCD，
∴OF⊥平面ABCD，
∵OF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ABCD
（2）解：建立如圖所示的坐標系，則

n

=（1，0，0）是平面ADE的法向量．
∵AB=2AE=2，
∴B（2，0，0），C（2，2，0），F（1，1，1），
設平面BCF的法向量為

m

=（x，y，z），則
∵

BC

=（0，2，0），

BF

=（-1，1，1），
∴

2y=0 -x+y+z=0

，
取z=1，則x=1，∴

m

=（1，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

=

2

2

，
∴平面BCF與平面ADE所成的角為45°．

點評：本題考查平面與平面垂直，考查平面與平面所成的角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．