Question

已知l₁：2x+y+6=0與l₂：3x-4y-6=0．
（1）求與l₂相距為2的直線l的方程；
（2）求l₁與l₂的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設直線l：3x-4y+m=0，利用兩條直線的距離公式建立關于m的方程，解出m=-16或4，可得所求直線l方程；
（2）利用兩條直線的夾角公式，算出l₁與l₂的夾角θ滿足tanθ=

11

2

，再利用同角三角函數的關系即可算出l₁與l₂的夾角的余弦值．

解答：解：（1）設直線l：3x-4y+m=0．
∵直線l與l₂相距為2
∴

|-6-m|

32+42

=2，解之得m=-16或4
因此直線l方程為3x-4y-16=0或3x-4y+4=0．
（2）求得l₁與l₂的斜率分別為k₁=-2，k₂=

3

4

設l₁與l₂的夾角為θ，則tanθ=

|k1-k2|

|1+k1k2|

=

|-2- 3 4 |

|1+(-2)× 3 4 |

=

11

2

由此可得cosθ=

1 1+tan2θ

=

1 1+( 11 2 )2

=

2 5

25

即l₁與l₂的夾角的余弦值等于

2 5

25

．

點評：本題給出兩條直線，求它們夾角的余弦之值．著重考查了兩條直線的距離公式、夾角公式和同角三角函數的基本關系等知識，屬于中檔題．