Question

已知圓C經過A（1，1），B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0 上，求圓C的方程．

Answer 1

分析：由A和B的坐標，求出直線AB的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出線段AB垂直平分線的斜率，再由A和B的坐標，利用線段中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，由中點坐標和求出的斜率，得出線段AB垂直平分線的方程，與直線l聯立組成方程組，求出方程組的解集得到圓心C的坐標，再由C和A的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|的值，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標準方程即可．

解答：解：∵A（1，1），B（2，-2），
∴k_AB=

1-(-2)

1-2

=-3，
∴弦AB的垂直平分線的斜率為

1

3

，
又弦AB的中點坐標為（

1+2

2

，

1-2

2

），即（

3

2

，-

1

2

），
∴弦AB的垂直平分線的方程為y+

1

2

=

1

3

（x-

3

2

），即x-3y-3=0，
與直線l：x-y+1=0聯立，解得：

x=-3 y=-2

，
∴圓心C坐標為（-3，-2），
∴圓的半徑r=|AC|=

42+32

=5，
則圓C的方程為（x+3）²+（y+2）²=25．

點評：此題考查了圓的一般方程，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關系，垂徑定理，兩直線的交點坐標，線段中點坐標公式，以及兩點間的距離公式，求出圓心坐標和半徑是解本題的關鍵．