Question

已知圓C經過A（1，-1），B（5，3），并且被直線m：3x-y=0平分圓的面積．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過點D（0，-1），且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的公共點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出AB的中垂線方程，圓心在直線3x-y=0，求出圓心，再求出半徑，然后求圓C的方程；
（Ⅱ）寫出過點D（0，-1），且斜率為k的直線l與圓C聯立，有兩個不同的公共點，就是△＞0，然后解不等式，求實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）線段AB的中點E（3，1），kAB=

3-(-1)

5-1

=1
故線段AB中垂線的方程為y-1=-（x-3），即x+y-4=0（2分）
由圓C經過A、B兩點，故圓心在線段AB的中垂線上
又直線3x-y=0平分圓的面積，所以直線m經過圓心
由

x+y-4=0 3x-y=0

解得

x=1 y=3

即圓心的坐標為C（1，3），（4分）
而圓的半徑r=|AC|=

(1-1)2+[3-(-1)]2

=4
故圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=16（6分）
（Ⅱ）由直線l的斜率為k，故可設其方程為y=kx-1（18分）
由

y=kx-1 (x-1)2+(y-3)2=16

消去y得（1+k²）x²-（8k+2）x+1=0
由已知直線l與圓C有兩個不同的公共點
故△=（8k+2）²-4（1+k²）＞0，即15k²+8k＞0
解得：k＜-

8

15

或k＞0（12分）

點評：本題考查圓的標準方程，直線和圓的方程的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．