Question

選做題
已知函數f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函數．
（1）求實數a的取值范圍A；
（2）當a為A中最小值時，定義數列{a_n}滿足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），試比較a_n與a_n+1的大小．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=﹣x³+ax，
∴f′（x）=﹣3x²+a，
∵f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函數，
∴f′（1）=﹣3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）當a=3時，由題意：a_n+1= f（a_n）=﹣  + a_n，
且a₁=b∈（0，1），以下用數學歸納法證明：a_n∈（0，1），對n∈N*恒成立．
①當n=1時，a₁=b∈（0，1）成立；
②假設n=k時，a_k∈（0，1）成立，
那么當n=k+1時， a_k+1=﹣ a_k³+ a_k，
由①知g（x）=（﹣x³+3x）在（0，1）上單調遞增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）即0＜a_k+1＜1，
　由①②知對一切n∈N*都有a_n∈（0，1）　
而a_n+1﹣a_n=﹣ a_n³+ a_n﹣a_n= a_n（1﹣a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．