Question

已知曲線y=x² 在點（n，n²） 處的切線方程為

x

an

-

y

bn

=1，其中n∈N^*
（1）求a_n、b_n 關于n 的表達式；
（2）設cn=

1

an+bn

，求證：c1+c2+…+cn＜

4

3

；
（3）設dn=

4an

λ•4an+1-λ

，0＜λ＜1，求證：d₁+d₂+…+d_n＞

nλ+λ-1

λ2

．

Answer 1

分析：（1）對函數求導可得y′=2x，根據導數的幾何意義可求切線斜率k，進而可得切線方程，即可
（2）由cn=

1

n2+ n 2

=

4

(2n+1)•2n

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和可證
（3）由dn=

2n

λ•2n+1-λ

 可得，dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

，由0＜λ＜1可得

1

λ•2n+1-λ

＜

1

λ•2n

 可證

解答：解：（1）對函數求導可得y′=2x，根據導數的幾何意義可得在點（n，n²）處的切線斜率k=2n
故所求切線方程為y-n²=2n（x-n） 即

x

n 2

-

y

n2

=1 
∴an=

n

2

，bn=n2 
（2）cn=

1

n2+ n 2

=

4

(2n+1)•2n

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

) 
當n=1 時，左邊=

2

3

＜ 右邊，不等式成立；…（6分）
當n≥2 時，c1+c2+…+cn＜c1+2(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

) 
=

2

3

+2(

1

3

-

1

2n+1

)＜

4

3

∴c1+c2+…+cn＜

4

3

(n∈N*) 
（3）dn=

2n

λ•2n+1-λ

 
，dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

 
∵0＜λ＜1，∴

λ-1

λ

＜0，λ•2n+1-λ＞λ•2n＞0，∴

1

λ•2n+1-λ

＜

1

λ•2n

 
所以dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

 ＞

λ-1

λ

•

1

λ•2n

=

λ-1

λ2

•

1

2n

 
(d1-

1

λ

)+(d2-

1

λ

)+…+(dn-

1

λ

)＞

λ-1

λ2

(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

)
∵

λ-1

λ2

＜0，

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
∴

λ-1

λ2

(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

)＞

λ-1

λ2

，
∴(d1-

1

λ

)+(d2-

1

λ

)+…+(dn-

1

λ

)＞

λ-1

λ2

∴d1+d2+…+dn＞

n

λ

+

λ-1

λ2

=

nλ+λ-1

λ2

點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義求解函數在一點的切線方程，數列求和的裂項求和及放縮法證明不等式的知識的綜合應用