Question

已知曲線y=x² 在點（n，n²） 處的切線方程為，其中n∈N^*
（1）求a_n、b_n 關于n 的表達式；
（2）設，求證：；
（3）設，其中．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數求導可得y′=2x，根據導數的幾何意義可求切線斜率k，進而可得切線方程，即可
（2）由，利用裂項求和可證
（3）由 可得，，由0＜λ＜1可得 可證
解答：解：（1）對函數求導可得y′=2x，根據導數的幾何意義可得在點（n，n²）處的切線斜率k=2n
故所求切線方程為y-n²=2n（x-n） 即 
∴ 
（2） 
當n=1 時，左邊= 右邊，不等式成立；…（6分）
當n≥2 時， 
=
∴ 
（3） 
， 
∵0＜λ＜1，∴，∴ 
所以  

∵，＜1，
∴，
∴
∴
點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義求解函數在一點的切線方程，數列求和的裂項求和及放縮法證明不等式的知識的綜合應用