Question

已知函數f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

2π

3

），求sin（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,復合三角函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角與兩角和的余弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過余弦函數的單調增區間，直接求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，可求得sin2θ=

2

3

，由于θ∈（

π

3

，

2π

3

），可得2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），從而可求cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 故可得sin（2θ+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=

3

2

+sin（

π

6

-2x）=

3

2

-sin（2x-

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
故函數f（x）的單調遞增區間為：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）∵f（θ+

π

12

）=

5

6

，∴

3

2

-sin（2θ+

π

6

-

π

6

）=

3

2

-sin2θ=

5

6

，sin2θ=

2

3

．   
∵θ∈（

π

3

，

2π

3

），∴2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），
∴cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 
∴sin（2θ+

π

3

）=sin2θcos

π

3

+cos2θsin

π

3

=

1

2

×

2

3

+（-

5

3

）×

3

2

=

2- 15

6

點評：本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數，函數的單調性函數值的求法，考查計算能力，轉化思想．