Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC（其中S_△ABC為△ABC的面積）．
（1）求sinA的值；
（2）若b=2，△ABC的面積S_△ABC=3，求a的值．

Answer 1

分析：（1 ）利用兩個向量的數量積的定義和已知的等式，求出tanA=

sinA

cosA

=

3

4

，再由同角三角函數的基本關系求出sinA的值．
（2）根據b=2，△ABC的面積S_△ABC=3，求出c的值及cosA的值，再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=13，求出a的值．

解答：解：（1 ）∵

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC，∴bccosA=

8

3

×

1

2

bcsinA，…2分
∴tanA=

sinA

cosA

=

3

4

． …3分
又sin²A+cos²A=1，A∈（0，π）∴sinA=

3

5

…6分
（2）S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2c×

3

5

=

3

5

c=3，∴c=5．  …8分
∵sinA=

3

5

，tanA=

3

4

，∴cosA=

4

5

…9分
a²=b²+c²-2bccosA=13，∴a=

13

． …12分

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，余弦定理以及同角三角函數的基本關系的應用，屬于中檔題．