Question

已知圓x²+y²-6x-4y+10=0，直線L₁：y=kx，L₂：3x+2y+4=0，x在什么范圍內取值時，圓與L₁交于兩點？又設L₁與L₂交于P，L₁與圓的相交弦中點為Q，當k于上述范圍內變化時，求證：|OP|•|OQ|為定值．

Answer 1

【答案】分析：直線與圓相交求圓心和直線的距離小于半徑即可；證明|OP|•|OQ|為定值，先求P，Q的坐標然后化簡即可．
解答：解：x²+y²-6x-4y+10=0 即   （x-3）²+（y-2）²=3圓與L₁交于兩點
可知解之得
又L₁與L₂交于P，又可求P，
L₁與圓的相交弦中點為Q，圓心（3，2）與直線y=kx垂直的直線：
它與y=kx的交點Q
∴|OP|•|OQ|==4（定值）．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，學生化簡、數學運算能力．