Question

已知動點P在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上，點M在圓C₂：（x-3）²+y²=1上，點A（3，0）滿足PM⊥AM，則|PM|的最小值為

3

．

Answer 1

分析：設點P（s，t），代入橢圓方程，可得t2=16-

16s2

25

，s∈[-5，5]．利用PM⊥AM，可得|PM|²=|PA|²-|AM|²=

9

25

(s-

25

3

)2-1，利用二次函數在s∈[-5，5]內單調遞減，即可得出|PM|²取得最小值．

解答：解：設點P（s，t），則

s2

25

+

t2

16

=1，可得t2=16-

16s2

25

，s∈[-5，5]．
∵PM⊥AM，∴|PM|²=|PA|²-|AM|²=（s-3）²+t²-1=s2-6s+8+16-

16s2

25

=

9

25

(s-

25

3

)2-1，
∵上述二次函數在s∈[-5，5]內單調遞減，因此當s=5時，|PM|²取得最小值=3，即|PM|的最小值為

3

．
故答案為

3

．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程與性質、勾股定理、二次函數的單調性等是解題的關鍵．