Question

22.

 

如圖,△OBC的三個頂點坐標分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設P₁為線段BC的中點,P₂為線段CO的中點,P₃為線段OP₁的中點,對于每一個正整數n,P_n+3為線段P_nP_n+1的中點,令P_n的坐標為（x_n,y_n）,a_n=y_n+y_n+1+y_n+2.

（Ⅰ）求a₁,a₂,a₃及a_n;

（Ⅱ）證明:y_n+4=1－,n∈N^*；

（Ⅲ）若記b_n=y_4n+4－y_4n,n∈N^*，證明:{b_n}是等比數列.

Answer 1

22.本題主要考查數列的遞推關系、等比數列等基礎知識，考查知識的綜合運用和解決問題的創新能力.

解：（Ⅰ）因為y₁=y₂=y₄=1,y₃=,y₅=,

所以a₁=a₂=a₃=2.

又由題意可知y_n+3=.

∴a_n+1=y_n+1+y_n+2+y_n+3

=y_n+1+y_n+2+

=y_n+y_n+1+y_n+2=a_n，

∴{a_n}為常數列.

∴a_n=a₁=2,n∈N^*.

 

（Ⅱ）將等式y_n+y_n+1+y_n+2=2兩邊除以2,得

y_n+=1,

又∵y_n+4=,

∴y_n+4=1－.

（Ⅲ）∵b_n+1=y_4n+8－y_4n+4=（1－）－（1－）

=－（y_4n+4－y_4n）

=－b_n,

又∵b₁=y₈－y₄=－≠0,

∴{b_n}是公比為－的等比數列.