Question

如圖，一科學考察船從港口O出發，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=

1

3

，在距離港口O為3

13

a（a為正常數）海里北偏東β角的A處有一個供科學考察船物資的小島，其中cosβ=

2

13

，現指揮部緊急征調沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科學考察船，該船沿BA方向不變追趕科學考察船，并在C處相遇．經測算，當兩船運行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時，補給最合適．
（1）求S關于m的函數關系式S（m）；
（2）當m為何值時，補給最合適？

Answer 1

分析：先以O為原點，正北方向為軸建立直角坐標系．
（1）先求出直線OZ的方程，然后根據β的正余弦值和OA的距離求出A的坐標，進而可以得到直線AB的方程，然后再與直線OZ的方程聯立求出C點的坐標，根據三角形的面積公式可得到答案．
（2）根據（1）中S（m）的關系式，進行變形整理，然后利用基本不等式求出最小值．

解答：解：以O為原點，正北方向為軸建立直角坐標系，直線OZ的方程為y=3x①，
（1）設A（x₀，y₀），∵cosβ=

2

13

，sinβ=

3

13

，
則x₀=3

13

asinβ=9a，y₀=3

13

acosβ=6a，∴A（9a，6a）．
又B（m，0），則直線AB的方程為y=

6a

9a-m

（x-m） ②
由①、②解得，C（

2am

m-7a

，

6am

m-7a

），
∴S（m）=S_△OBC=

1

2

|OB||yc|=

1

2

×m×

6am

m-7a

=

3am2

m-7a

（m＞7a）．
（2）S（m）=

3am2

m-7a

=3a[（m-7a）+

49a2

m-7a

+14a]≥84a²當且僅當m-7a=

49a2

m-7a

，即m=14a＞7a時，等號成立，
故當m=14a海里時，補給最合適．

點評：本題主要考查解三角形的實際應用、三角形的面積公式、基本不等式的應用．考查函數的建模思想和轉化思想．