Question

5．定義在R上的可導函數f（x），當x∈（0，+∞）時，xf′（x）-f（x）＞0恒成立，a=f（1），b=$\frac{1}{2}f（2），c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{\sqrt{2}}）$，則a，b，c的大小關系為（　　）

• A． c＜a＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根據條件xf′（x）-f（x）＞0恒成立，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，然后根據導數和函數單調性之間的關系即可得到結論．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[f（x）-xf′（x）]，
∵當x∈（0，+∞）時，xf′（x）-f（x）＞0恒成立，
∴g'（x）＜0，
即g（x）在（0，+∞）單調遞減，
∵a=f（1）=$\frac{f（1）}{1}$=g（1），b=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{f（2）}{2}$=g（2），c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}}$=g（$\sqrt{2}$）
又1＜$\sqrt{2}$＜2，
∴g（1）＞g（$\sqrt{2}$）＞g（2），
即a＞c＞b，
故選：B．

點評 本題主要考查函數值的大小比較，根據條件構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解決本題的關鍵，要求熟練掌握函數的單調性和導數之間的關系．