Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1，函數g（x）=f（x）-ax²+3是奇函數．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意先求f（x）的導函數，利用導數的幾何含義和切點的實質及g（x）為奇函數建立a，b，c的方程求解即可；
（2）有（1）可知函數f（x）的解析式，先對函數f（x）求導，再利用極值概念加以求解即可．
解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵函數f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函數g（x）=-x³+bx+c+3是奇函數，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=或x=-2，
 當x∈（-∞，-2）時，f^′（x）＜0，函數f（x）在此區間上單調遞減；
當x∈時，f^′（x）＞0，函數f（x）在此區間單調遞增；
當x∈時，f^′（x）＜0，函數f（x）在此區間上單調遞減；
所以f（x）_極小=f（-2）=-11，f（x）_極大=f．．
點評：（1）此問重點考查了導函數的幾何意義，奇函數的概念和切點的定義，還考查了方程的數學思想；
（2）此問考查了函數的極值的定義和求極值的方法．