Question

已知數列{a_n}的前項和為S_n，且滿足a1=

4

3

，(4n-1)an=3•4n-1Sn．
（Ⅰ）求數列{S_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

n

3an

，求為數列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n與 s_n的關系，把a_n用s_n表示出來 找到 s_n 和s_n-1的關系，再求{S_n}的通項公式即可．
（Ⅱ）由s_n的通項公式，先求出a_n，再把{b_n}的通項公式找出，利用錯位相減法求出數列{b_n}的前項和T_n．

解答：解：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n?（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1）
=3•4^n-1S_n?（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1
數列{

Sn

4n-1

}是公比為1的等比數列∴

Sn

4n-1

=

S1

3

=

4

9

?Sn=

4

9

(4n-1)..（6分）
（2）∴Sn=

4

9

(4n-1)代入(4n-1)an=3•4n-1Sn?an=

4n

3

?bn=

n

4n

∴Tn=

1

4

+

2

42

+

3

43

++

n

4n

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

++

n

4n+1

兩式相減得

3

4

Tn=

1

41

+

1

42

+

1

43

++

1

4n

-

n

4n+1

=

1

3

-

1

3•4n

-

n

4n+1

∴Tn=

4

9

-

4+3n

9•4n

．（12分）

點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．