Question

（2012•安徽模擬）下列四個命題中不正確的是（　　）

• A．若動點P與定點A（-4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值

  4

  9

  ，則動點P的軌跡為雙曲線的一部分
• B．設m，n∈R，常數a＞0，定義運算“*”：m*n=（m+n）²-（m-n）²，若x≥0，則動點P(x，

  x*a

  )的軌跡是拋物線的一部分
• C．已知兩圓A：（x+1）²+y²=1、圓B：（x-1）²+y²=25，動圓M與圓A外切、與圓B內切，則動圓的圓心M的軌跡是橢圓
• D．已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線

Answer 1

分析：利用直譯法，求A選項中動點P的軌跡方程，進而判斷表示的曲線；利用新定義運算，利用直譯法求選項B中曲線的軌跡方程，進而判斷軌跡圖形；利用圓與圓的位置關系，利用定義法判斷選項C中動點的軌跡；利用橢圓定義，由定義法判斷D中動點的軌跡即可

解答：解：A：設P（x，y），因為直線PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直線PA、PB的斜率分別是k₁=

y

x+4

，k₂=

y

x-4

，∴

y

x+4

×

y

x-4

=

4

9

，化簡得9y²=4x²-64，
即

x2

16

-

9y2

64

=1（x≠±4），∴動點P的軌跡為雙曲線的一部分，A正確；
B：∵m*n=（m+n）²-（m-n）²，∴

x*a

=

(x+a)2-(x-a)2

=2

ax

，設P（x，y），則y=2

ax

，即y²=4ax（x≥0，y≥0），即動點P(x，

x*a

)的軌跡是拋物線的一部分，B正確；
C：由題意可知，動圓M與定圓A相外切與定圓B相內切
∴MA=r+1，MB=5-r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴動圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，C正確；
D設此橢圓的另一焦點的坐標D （x，y），
∵橢圓過A、B兩點，則 CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB-DA=2＜AB，
∴橢圓的另一焦點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線一支，D錯誤
故選 D

點評：本題綜合考查了求動點軌跡的兩種方法：直譯法和定義法，考查了圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義，橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，有一定難度