Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，F1、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，過F₂的直線l與C相交于A、B兩點，△F₁AB的周長為4

3

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若橢圓C上存在點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

3

3

得a=

3

c，由△F₁AB周長為4

3

可求得a值，進而求得b值；
（II）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），易判斷直線存在斜率，設直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓聯立方程組消y得x的二次方程，∵四邊形0APB為平行四邊形，∴

OP

=

OA

+

OB

，根據韋達定理可把P點坐標用k表示出來，再代入橢圓方程即可求得k值；

解答：解：（I）∵橢圓離心率為

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，∴a=

3

c，
又△F₁AB周長為4

3

，∴4a=4

3

，解得a=

3

，∴c=1，b=

2

，
∴橢圓C的標準方程為：

x2

3

+

y2

2

=1；
（II）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
當斜率不存在時，這樣的直線不滿足題意，
∴設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=k（x-1），
將直線l的方程代入橢圓方程，整理得：（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，∴x₁+x₂=

6k2

2+3k2

，
故y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

6k3

2+3k2

-2k=

-4k

2+3k2

，
∵四邊形OAPB為平行四邊形，∴

OP

=

OA

+

OB

，
從而x0=x1+x2=

6k2

2+3k2

，y0=y1+y2=

-4k

2+3k2

，
又P（x₀，y₀）在橢圓上，∴

( 6k2 2+3k2 )2

3

+

( -4k 2+3k2 )2

2

=1，
整理得：

36k4

3(2+3k2)2

+

16k2

2(2+3k2)2

=1，12k⁴+8k²=4+12k²+9k⁴，3k⁴-4k²-4=0，解得k=±

2

，
故所求直線l的方程為：y=±

2

（x-1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程，考查方程思想，考查學生解決問題的能力．