Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對一切正整數n成立
（1）證明：數列{a_n+3}是等比數列；
（2）求出數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由已知得S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），兩式相減得：a_n+1=2a_n+3，由此能夠證明數列{a_n+3}是等比數列．
（2）、數列{a_n+3}是首項為6，公比為2的等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對一切正整數n成立
∴S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
兩式相減得：a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴

an+1+3

an+3

=2，
∴數列{a_n+3}是等比數列．
（2）∵

an+1+3

an+3

=2，a_n=

1

2

（3n+S_n），
∴a1=

1

2

(3+a1)，解得a₁=3，
∴a₁+3=6，
∴數列{a_n+3}是首項為6，公比為2的等比數列，
∴數列a_n+3=6•2^n-1，
故a_n=3（2ⁿ-1）．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法．解題時要認真審題，仔細解答．