Question

已知函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函數，且當x＞0時，f（x）=x²-x+a，若函數g（x）=f（x）-x的零點恰有兩個，則實數a的取值范圍是（　　）

A．a＜0

B．a≤0

C．a≤1

D．a≤0或a=1

Answer 1

分析：要使函數g（x）=f（x）-x的零點恰有兩個，則根據函數是奇函數，則只需要當x＞0時，函數g（x）=f（x）-x的零點恰有一個即可．

解答：解：因為f（x）是奇函數，所以g（x）=f（x）-x也是奇函數，
所以要使函數g（x）=f（x）-x的零點恰有兩個，
則只需要當x＞0時，函數g（x）=f（x）-x的零點恰有一個即可．
由g（x）=f（x）-x=0得，g（x）=x²-x+a-x=x²-2x+a=0，
若△=0，即4-4a=0，解得a=1．
若△＞0，要使當x＞0時，函數g（x）只有一個零點，則g（0）=a≤0，
所以此時

△=4-4a＞0 a≤0

，解得a≤0．
綜上a≤0或a=1．
故選D．

點評：本題主要考查函數零點的應用，利用二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．