Question

14．已知菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=120°，若在菱形內任取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離大于1的概率（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． 1-$\frac{π}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$
• D． $1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$

Answer 1

分析 以菱形ABCD的各個頂點為圓心、半徑為1作圓如圖所示，可得當該點位于圖中陰影部分區域時，它到四個頂點的距離均大于1．因此算出菱形ABCD的面積和陰影部分區域的面積，利用幾何概型計算公式加以計算，即可得到所求的概率．

解答 解：分別以菱形ABCD的各個頂點為圓心，作半徑為1的圓，如圖所示．
在菱形ABCD內任取一點P，則點P位于四個圓的外部時，
滿足點P到四個頂點的距離均大于1，即圖中的陰影部分區域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin120°=4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_菱形ABCD-S_空白=8$\sqrt{3}$-π×1²=8$\sqrt{3}$-π．
因此，該點到四個頂點的距離大于1的概率P=1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$，
故選D．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據對應分別求出對應區域的面積是解決本題的關鍵．