Question

（1992•云南）設拋物線經過兩點（-1，6）和（-1，-2）對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y=2x+7被拋物線截得的線段的長是4

10

，求拋物線的方程．

Answer 1

分析：由兩點（-1，6）和（-1，-2）的中點為（-1，2），因此可設要求的拋物線方程為（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．由于點（-1，6）在拋物線上，代入可得2p（-1+a）=16，化為p（a-1）=8．因此p=

8

a-1

．
設直線y=2x+7與拋物線相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=2x+7 (y-2)2= 16 a-1 (x+a)

，化為4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1），利用根與系數的關系、弦長公式即可得到a，p．

解答：解：∵兩點（-1，6）和（-1，-2）的中點為（-1，2），因此可設要求的拋物線方程為（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．
∵點（-1，6）在拋物線上，∴2p（-1+a）=16，化為p（a-1）=8．∴p=

8

a-1

．
設直線y=2x+7與拋物線相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=2x+7 (y-2)2= 16 a-1 (x+a)

，化為4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x₁+x₂=

9-5a

a-1

，x₁x₂=

9a-25

4(a-1)

．
∵|AB|=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

10

，
∴5[(

9-5a

a-1

)2-

9a-25

a-1

]=16×10，化為2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

．
∵a＞0，∴a=

3

2

．
∴p=

8

3 2 -1

=16．
∴拋物線的方程為(y-2)2=32(x+

3

2

)．

點評：熟練掌握拋物線的對稱性、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等是解題的關鍵．