Question

若不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：令y=f（x）=

-x2+4x

，在同一直角坐標系中作出f（x）=

-x2+4x

與y=ax+2a=a（x+2）的圖象，數形結合，分析即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：令y=f（x）=

-x2+4x

，則（x-2）²+y²=4（0≤x≤4），是以（2，0）為圓心，2為半徑的上半圓．
令y=ax+2a=a（x+2），是以a為斜率，且過定點（-2，0）的直線，
作圖如下：

由圖可知，當直線y=a（x+2）與半圓f（x）=

-x2+4x

相切時，由Rt△AEP中AE=4，PE=2知，∠PAE=30°，
所以，a=k_PA=tan30°=

3

3

，此時滿足不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，
將此時的直線l（直線AP）繞定點A逆時針方向旋轉，直到與x軸垂直，在這個過程中，不等式

-x2+4x

≤ax+2a恒成立，
所以，a≥

3

3

．
故答案為：[

3

3

，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題，在同一直角坐標系中作出f（x）=

-x2+4x

與y=ax+2a=a（x+2）的圖象是關鍵，考查數學結合思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于中檔題．