Question

如圖所示，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比，現有制箱材料60 m²，問當a，b各為多少時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計)？

Answer 1

答案：
解析：

答：當a＝6 m，b＝3 m時，經沉淀后流出的水中雜質的質量分數最�。� 　　解：方法一：設流出的水中雜質的質量分數為y， 　　由題意y＝，其中k為比例系數(k＞0)， 　　又根據題設2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)． 　　∴y＝＝． 　　令t＝a＋2，則a＝t＋2． 　　從而＝34－(t＋)． 　　∴y＝≥ 　　當且僅當t＝，即a＋2＝時取等號，此時a＝6． 　　由a＝6可得b＝3． 　　綜上所述，當a＝6m，b＝3m時，經沉淀后流出的水中雜質的質量分數最�。� 　　方法二：設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意y＝，其中k為比例系數(k＞0)．要求y的最小值，必須求解ab的最大值． 　　依題意設4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥(當且僅當a＝2b時取等號)， 　　∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18． 　　由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3． 　　思路分析：題中的“雜質的質量分數”可按“雜質的含量”理解，設為y．由題意y與ab成反比，又設比例系數為k，則y＝．又由于箱體材料多少的限制，a，b之間應有一定的關系式，即2×(2b)＋2ab＋2a＝60，因此該題的數學模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求：a，b為何值時，y＝最�。�