Question

（1）設x＞0，y＞0，且

8

x

+

2

y

=1，求x+y的最小值．
（2）若x∈R，y∈R，求證：

x2+y2

2

≥(

x+y

2

)2．

Answer 1

分析：（1）依題意，x+y=（x+y）（

8

x

+

2

y

），展開后利用基本不等式即可求得x+y的最小值；
（2）作差

x2+y2

2

-(

x+y

2

)2化積判斷即可．

解答：證明：（1）∵x＞0，y＞0，

8

x

+

2

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

8

x

+

2

y

）
=8+

2x

y

+

8y

x

+2
≥2

2x y • 8y x

+10=18（當且僅當x=12，y=6時取“=”），
∴x+y的最小值為18．
（2）∵x∈R，y∈R，
∴

x2+y2

2

-(

x+y

2

)2
=

2x2+2y2

4

-

x2+2xy+y2

4

=

x2-2xy+y2

4

=(

x-y

2

)2≥0，
∴

x2+y2

2

≥(

x+y

2

)2．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應用，考查作差法，屬于中檔題．