Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線y=x+

6

與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F₁、F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點A、B，且線段AB的垂直平分線l′過定點Q（

1

6

，0），求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用△F₁PF₂的重心為G，內心為I，結合三角形的面積公式，直線y=x+

6

與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，求出幾何量，即可求出橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，確定線段AB的中點R的坐標，利用線段AB的垂直平分線l′過定點Q（

1

6

，0），可得不等式，從而可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則G（

x0

3

，

y0

3

）
設I（x_I，y_I），則∵IG∥F₁F₂，∴yI=

y0

3

∵|F₁F₂|=2c，∴S△F1PF2=

1

2

|F₁F₂||y₀|=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•

y0

3

∴2c•3=2a+2c
∴e=

c

a

=

1

2

∵直線y=x+

6

與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切
∴b=

6

2

∴b=

3

∴a=2
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線方程代入橢圓方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，可得m²＜4k²+3
∵x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴y₁+y₂=

6m

3+4k2

∴線段AB的中點R的坐標為（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）
∵線段AB的垂直平分線l′的方程為y=-

1

k

(x-

1

6

)，R在直線l′上，
∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

6

)
∴m=-

1

6k

(4k2+3)
∴[-

1

6k

(4k2+3)]2＜4k2+3
∴k2＞

3

32

∴k＞

6

8

或k＜-

6

8

．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓，直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．