Question

【題目】從年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發出了一場嚴重的蝗蟲災情.目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農作物造成嚴重傷害，每只蝗蟲的平均產卵數和平均溫度有關，現收集了以往某地的組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

平均溫度
平均產卵數個

表中，.

（1）根據散點圖判斷，與（其中為自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數關于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出關于的回歸方程.（結果精確到小數點后第三位）

（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.

①記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時相應的概率；

②根據①中的結論，當取最大值時，記該地今后年中，需要人工防治的次數為，求的數學期望和方差.

附：對于一組數據、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.

Answer 1

【答案】（1）更適宜；；（2）①；②，.

【解析】

（1）利用圖象可得出更適宜作為平均產卵數關于平均溫度的回歸類型，對，兩邊取自然對數，求出關于的回歸方程，進而可得出關于的回歸方程；

（2）①對函數求導數，利用導數判斷該函數的單調性，求出函數取最值時對應的的值；

②由取最大值時對應的的值，得出，由二項分布的數學期望和方差公式可得出、的值.

（1）由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產卵數關于平均溫度的回歸類型，

對兩邊取自然對數得，令，，，則.

因為，，

所以，關于的回歸方程為，

所以，關于的回歸方程為；

（2）①由，，

且，當時，；當時，.

所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，函數在處取得極大值，亦即最大值，；

②由①可知，當時，取最大值，

又，則，由題意可知，，.