Question

已知函數．

(Ⅰ)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，求證ab＞1；

(Ⅱ)是否存在實數a，b(a＜b)使得函數y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：∵

　　故上是減函數，而在上是增函數，

　　由

　　而

　　(Ⅱ)不存在這樣的實數a，b．

　　假設存這樣的實數a，b使得函數的定義域、值域是都是[a，b]

　　①當0＜a＜b＜1時，函數上是減函數，則，

　　即，解得a＝b與0＜a＜b＜1矛盾，故此時不存在滿足條件的實數a，b．

　　②當1＜a＜b時，函數上是增函數，則，

　　即，此時實數a，b為方程的兩根，但方程無實根，因此不存在滿足條件的實數a，b．

　　③當0＜a＜1＜b，此時顯然有(這是因為a＞0)，

　　故此時不存在滿足條件的實數a，b．

　　綜合①②③可得滿足條件的實數是不存在的．