Question

20．直線 l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）被圓C：（x-1）²+（y-2）²=25 所截得的最短的弦長為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得直線l經過定點A（3，1）．要使直線l被圓C截得的弦長最短，需CA和直線l垂直，利用勾股定理可得結論．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-2）²=25的圓心C（1，2）、半徑為5，
直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，求得x=3，y=1，故直線l經過定點A（3，1）．
要使直線l被圓C截得的弦長最短，需CA和直線l垂直，|CA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴最短的弦長為2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為4$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關系，勾股定理，屬于中檔題．