Question

已知數列{a_n}的前項n和為S_n，a₁=1，S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

(n∈N*)．
（1）證明數列{S_n-

3

2

}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若對任意正整數n，不等式k≤S_n恒成立，求實數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

，可得S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，進而可得

Sn+1- 3 2

Sn- 3 2

=

1

3

，從而得到數列{S_n-

3

2

}為等比數列；
（2）由（1）中結合可得S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1，根據n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，n=1時，a_n=S_n，可求出數列{a_n}的通項公式；
（3）根據對數函數的圖象和性質可得S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1是單調遞增數列，若不等式k≤S_n恒成立，僅須k≤S_n的最小值S₁即可．

解答：解：（1）因為S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

，
所以S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，…（2分）
由此得S_n+1-

3

2

=

1

3

（S_n-

3

2

），…（3分）
即

Sn+1- 3 2

Sn- 3 2

=

1

3

，…（4分）
又∵S₁-

3

2

=a₁-

3

2

=-

1

2

，
所以數列{S_n-

3

2

}是以-

1

2

為首項，

1

3

為公比的等比數列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-

3

2

=-

1

2

×（

1

3

）^n-1，即S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1，…（6分）
所以，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1]-[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-2]=

1

3n-1

…（8分）
又n=a時，a₁=1也適合上式，
所以a_n=

1

3n-1

．…（9分）
（3）要使不等式k≤S_n對任意正整數n恒成立，即k小于或等于S_n的所有值．
又因為S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1是單調遞增數列，…（10分）
且當n=1時，S_n取得最小值1，…（11分）
要使k小于或等于S_n的所有值，即k≤1，…（13分）
所以實數k的最大值為．…（14分）

點評：本題考查的知識點是等比數列的確定，數列的通項公式，恒成立問題，數列的單調性，是數列問題的綜合應用，難度較大．