Question

如圖所示：一吊燈的下圓環直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環呈水平狀態，并且與天花板的距離（即OB）為2m，在圓環上設置三個等分點A₁，A₂，A₃．點C為OB上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A₁，A₂，A₃，B均用細繩相連接，且細繩CA₁，CA₂，CA₃的長度相等，求細繩總長y的最小值，并求出此時BC的長度．

Answer 1

分析：在RT△COA₁中，設∠OA₁C=θ，則CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，CB=2-2tanθ＞0，即可表示出y，利用導數得出其單調性即可求出．

解答：解：在RT△COA₁中，設∠OA₁C=θ，則CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
∵y=3CA₁+CB=

6

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2(0＜θ＜

π

4

)，
∴y′=2×

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
令y^′=0，則sinθ=

1

3

．
當sinθ＞

1

3

時，y^′＞0；sinθ＜

1

3

時，y^′＜0，
∵y=sinθ在[0，

π

4

]上是增函數，
∴當角θ滿足sinθ=

1

3

時，y最小為4

2

+2；此時BC=2-

2

2

m．

點評：正確表示出y，及熟練利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．