Question

如圖所示：一吊燈的下圓環直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環呈水平狀態，并且與天花板的距離（即OB）為2m，在圓環上設置三個等分點A₁，A₂，A₃．點C為OB上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A₁，A₂，A₃，B均用細繩相連接，且細繩CA₁，CA₂，CA₃的長度相等．設細繩的總長為ym．
（1）設∠CA₁O=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；
（2）請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時 BC應為多長．

Answer 1

分析：（1）由于細繩的總長包括CB長及CA₁，CA₂，CA₃的長，CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，故可表示細繩的總長；
（2）利用導數法求函數的最小值，由于是單峰函數，故極值點就為最值點，所以利用求極值的方法可求最值．

解答：解：（1）在Rt△COA₁中，CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，…（2分）y=3CA1+CB=3•

2

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2（0＜θ＜

π

4

）…（7分）
（2）y/=2

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=2

3sinθ-1

cos2θ

，
令y'=0，則sinθ=

1

3

…（12分）
當sinθ＞

1

3

時，y'＞0；sinθ＜

1

3

時，y'＜0，
∵y=sinθ在[0，

π

4

]上是增函數
∴當角θ滿足sinθ=

1

3

時，y最小，最小為4

2

+2；此時BC=2-

2

2

m       …（16分）

點評：本題的考點是已知三角函數模型的應用問題，主要考查引進角參數，構建三角函數模型，同時考查利用導數法求函數的最小值，由于是單峰函數，故極值點就為最值點