Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n是數列{a_n}的前n項和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=2ⁿ-a_n，求b_n的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于4S_n=a_n²+2a_n-3，可得當n=1時，4a₁=

a

2 1

+2a₁-3，解得a₁．當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-3-(

a

2 n-1

+2an-1-3)，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=2ⁿ-a_n=2ⁿ-（2n+1），再利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n-3，
∴當n=1時，4a₁=

a

2 1

+2a₁-3，解得a₁=3或-1，其中a₁=-1舍去．
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-3-(

a

2 n-1

+2an-1-3)，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2．
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=2ⁿ-a_n=2ⁿ-（2n+1），
b_n的前n項和T_n=

2(2n-1)

2-1

-

n(3+2n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-n²-2n．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．