Question

設函數f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（Ⅰ）求k值；
（Ⅱ）若f（1）＜0，求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的實數t的取值范圍；
（Ⅲ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求實數m的值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數，直接由f（0）=0求得k的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的k的值代入函數解析式，判斷其單調性，然后利用函數的單調性把不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0轉化為關于x的一元二次不等式，利用判別式小于0求得t的取值范圍；
（Ⅲ）由f（1）=

3

2

求得a的值，化簡函數g（x），令t=f（x）=2^x-2^-x換元，利用函數的單調性求得t的范圍，然后對m分類求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，
經檢驗知：k=2滿足題意；
（Ⅱ）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-

1

a

＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∵a^x單調遞減，a^-x單調遞增，故函數f（x）在R上單調遞減．
不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（Ⅲ）∵f(1)=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=a^2x+a^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（Ⅰ）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數，
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h(t)=t2-2m+2=(t-m)2+2-m2(t≥

3

2

)，
若m≥

3

2

，當t=m時，h(t)min=2-m2=-2，∴m=2；
若m＜

3

2

，當t=

3

2

時，h(t)min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，故舍去．
綜上可知m=2．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了函數的性質及其應用，考查了數學轉化思想方法及分類討論的數學思想方法，是中檔題．