Question

已知函數在處有極大值．

（1）當時，函數的圖象在拋物線的下方，求的取值范圍．

（2）若過原點有三條直線與曲線相切，求的取值范圍；

 

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先利用導數及函數極大值點的條件確定的值；而當時，函數的圖象在拋物線的下方，等價于在時恒成立，即在時恒成立，于是問題轉化為函數在區間的最值問題；

（2）設切點為，利用切線斜率的定義及導數的幾何意義建立關于的方程，

然后將此方程有三個不同的實數解的問題轉化為函數的零點問題．

試題解析：【解析】
（1），

或，

當時，函數在處取得極小值，舍去；

當時，，

函數在處取得極大值，符合題意，∴．（3分）

∵當時，函數的圖象在拋物線的下方，

∴在時恒成立，

即在時恒成立，令，

則，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（6分）

（2），設切點為，

則切線斜率為，

切線方程為，

即 ，

∴．

令，則，

由得，．

函數的單調性如下：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴當時，方程有三個不同的解，過原點有三條直線與曲線相切．（12分）

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉化的思想；3、導數的幾何意義．