Question

函數f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命題：
（1）函數y=（x）圖象關于y軸對稱
（2）當x＞0時，f（x）是增函數，x＜0時，f（x）是減函數
（3）函數f（x）的最小值是lg2
（4）當-1＜x＜0或x＞1時，f（x）是增函數，其中正確命題的序號

①③④

．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=f（x）可判斷（1）的正確與否；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，則x＞0時，g(x)=x+

1

x

利用其單調性可判斷（2）的正誤；
（3由g(x)=

x2+1

|x|

的最小值可判斷③；
（4）利用復合函數的性質可判斷④的正誤．

解答：解：（1）∵f（-x）=f（x）∴可（1）正確；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，則x＞0時，g(x)=x+

1

x

，又g(x)=x+

1

x

先減后增，故（2）錯誤；
（3）∵g（x）_min=2，∴函數f（x）的最小值是lg2，故（3）正確；
（4）∵令g(x)=

x2+1

|x|

在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，又f(x)=lg

x2+1

|x|

為偶函數，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（-1，0）或（1，+∞）單調遞增；故（4）正確；
故正確答案為：①③④．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性，難點在于對復合函數的單調性的分析，屬于中檔題．