Question

已知函數(shù)
（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性：
（2）若函數(shù)的圖像上存在不同兩點，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”。試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（2）當時，函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條，當時，函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.

試題分析：(1)對進行討論，求導數(shù)，令導數(shù)大于0或小于0，求單調(diào)遞增或遞減區(qū)間；（2）先假設它是“中值平衡函數(shù)”，設出兩點，討論和的情況，看是否符合題意.
試題解析：（1）              1分
當即時，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；  2分
當即時,由得到或，  4分
所以：當時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；                            5分
當即時，由得到：，
所以:當時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；  7分
（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得
即，
即，（*）                     4分
當時，（*）對任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條；                   8分
當時，設，則方程在區(qū)間上有解，      10分
記函數(shù)，則，       12分
所以當時，，即方程在區(qū)間上無解，
即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.                     14分