Question

若函數f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

(a＞0)的定義域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），則常數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意f（x）是增函數，且定義域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），得

f(m)=m f(n)=n

，即方程

2a+1

a

-

1

a2m

=m有二不等實根，△＞0，解得a的取值范圍．

解答：解：∵函數f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

(a＞0)在（0，+∞）上是增函數，且定義域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），
∴

f(m)=m f(n)=n

，即

2a+1 a - 1 a2m =m 2a+1 a - 1 a2n =n

；
由

2a+1

a

-

1

a2m

=m，得a²m²-a（2a+1）m+1=0；
該一元二次方程有二不等實根，
∴△=a²（2a+1）²-4a²＞0，
即（2a+1）²-4＞0，
∴4a²+4a-3＞0，
解得a＞

1

2

，或a＜-

3

2

（舍去）；
∴a的取值范圍是{a|a＞

1

2

}；
故答案為：{a|a＞

1

2

}．

點評：本題通過函數的定義域和值域的求法，考查了一元二次不等式的解法問題，是易錯題．