Question

已知函數f(x)=

2a-x

+

x

(a∈N*)，設f（x）的最大值、最小值分別為m，n，若m-n＜1，則正整數a的取值個數是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先將函數平方，然后利用基本不等式和二次函數的單調性求出函數的最值，最后根據m-n＜1建立不等式關系，求出所求．

解答：解：∵f(x)=

2a-x

+

x

≥0
∴[f（x）]²=2a+2

(2a-x)x

≥2a，
當x=0 或2a時f（x）取最小值n=

2a

又2

(2a-x)x

≤2a-x+x=2a，當x=2a-x即x=a時取等號
即f（x）²≤2a+2a=4a，f（x）≤2

a

，當x=a時取最大值m=2

a

這樣m-n=2

a

-

2a

＜1

a

＜

1

2- 2

=

2+ 2

2

因此只能取a=1 或 2
共2個正整數．
故選B．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及不等式的應用，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．