Question

若雙曲線

x2

a

-

y2

b

=1(a＞0，b＞0)和橢圓

x2

m

+

y2

n

=1(m＞n＞0)有共同的焦點F₁，F₂，P是兩條曲線的一個交點，則|PF₁|•|PF₂|=（　　）

• A、m²-a²
• B、

  m

  -

  a

• C、

  1

  2

  (m-a)
• D、（m-a）

Answer 1

分析：在同一直角坐標系中作出雙曲線

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）的圖形，利用雙曲線與橢圓的定義得到|PF₁|與|PF₂|的關系式，從而可求得|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：依題意，作圖如下：

不妨設點P為第一象限的交點
則|PF₁|+|PF₂|=2

m

，①
|PF₁|-|PF₂|=2

a

，②
①²-②²得：4|PF₁|•|PF₂|=4（m-a），
∴|PF₁|•|PF₂|=m-a，
故選：D．

點評：本題考查雙曲線與橢圓的定義及其標準方程，考查作圖與運算求解能力，屬于中檔題．